第三章 芝诺悖论（1/2）

简水东隔三差五就往萧雨裴老师家赶。除了请教学问，还有个好处是可以蹭饭，这对于吃惯了食堂油水稀薄饭菜的水东来说实在是一种诱惑。

萧老师居然单身，刚开始还让简水东有些许的尴尬，可是一看到老师那慈母般的目光就心头一堵，仿佛找到了从未感觉过的母爱，自然地多了一层依恋。

萧老师对于这个学生也是有着莫名的好感，也不知道怎么会对这个孤儿学生就产生了一种强烈的母爱，要不是自己从未生育，都快怀疑他是不是自己哪天遗失的孩子。

“难道仅仅是因为他和他有着几分神似？”她有时候会问自己，马上又会否决，“也许是自己年纪大了，母爱泛滥吧。”

水东带来一本笔记，密密麻麻的写满了文字和公式。和萧老师讨论知识是一件很惬意的事，严谨敏捷的思维，渊博洞彻的学识，无不让他仰慕。虽然上次自己推导的泰勒余项公式最后被萧老师证明不过是柯西余项的另一种表述，但是探索知识的热情开始熊熊燃烧了。

“老师研究过芝诺悖论吗？”

“恩，了解的。以前和人讨论过。”萧老师仿佛又想起了往事，“芝诺悖论记述在亚里士多德的《物理学》里，包括四个部分。”

“是的，前两个是二分法和阿基里斯追乌龟。后两个是飞矢不动和运动场。”水东答。

“你有什么想法吗？比如二分法吧。”

“物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，所以永远到不了终点，因为无限的连续空间点结构，你无法在有限的时间内走完无限的点。甚至你都不能启动，因为无限的点结构，你无法确定第一个点在哪里。”

“恩，所以亚里士多德提出了他的时间模型，让时间也拥有了无限的点结构，以无限对无限，那么就可以实现在无限的时间点内跨越无限的空间点。在宏观上就表现为有限时间内跨过有限距离。”萧老师接着说，“亚里士多德的时间模型虽然有缺憾，但是他实际上找到了解决方法，那就是建立自己的时间模型。我们先说第二个悖论吧。”

“阿基里斯追乌龟？因为阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而当他到达这个点的时候，又有新的出发点在等他，因为无法走完这无限个起点，所以阿基里斯永远追不上乌龟。”

水东接着说：“这个问题，亚里士多德认为，如果慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了。”

“关键是怎么越过最后这个距离的。有人用微积分，无穷数列求和，然后得到一个极限，所以得出距离是有限的，阿基里斯追上了乌龟。”萧老师看向天空，眼神深邃，“问题是求极限只是无限近似，并不是完全等于。极限仅仅是在如果能追上了乌龟的情况下，算出所需要走过的距离。但是数学并没有解决到底能不能追上乌龟。一个无穷数列，你找不到最后一项，甚至也找不到第一项。”

“有人认为我们的长度和时间有最小值，那就是普朗克长度与时间。”水东问，“如果建立在这个模型上，阿基里斯只需要实现最后一个普朗克长度的跃迁就可以追上乌龟。”